应用_用回归图对符号动力学进行半系统的分类_论可测变换或动力系统与度量函数的耦合暨微扰论的拓展

以相关性(correlation)为度量的回归图忠实地反映了基础元胞自动机(ECA)的动力学性质,可以很好地区分稳态和混沌态。

我对Logistic Mapping做了简单的耦合推广,并应用回归图找到了处在混沌边界的参数,有趣的是这种推广系统也处在混沌边界。

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logistic__3-811_corrprofile

讨论:二维元胞自动机是一个幻象,它并不比一维元胞高明到哪里去,对于Glider和Pattern的分类看起来没有发展壮大的希望。CA和物理学的联系目前还是太弱了,需要一些契机把CA爱好者引导到更有建设性的道路上。Wolfram对Rule110的阐释是很有insight的,但是他本人最后也认识到CA有一些内在的缺陷使其不能模拟神经网络。我希望Derrida Plot的复兴可以改变这一情况,这一工具允许人们更加系统地对自动机的动力学性质进行分类,而且和微扰论有很深的联系,希望有更多的人参与到这个研究里来。

这里用一个二维BS元胞自动机为例子(B013468/S23,生命游戏是B3/S23),大致介绍一下Covariance Profile的具体操作办法,用一个常值分布随机取两个初始状态,计算它们的距离H(0),接下来用CA规则将两个初态分别迭代T次,并记录它们的轨迹。这样我们可以得到H(1),H(2),H(3)….H(T). 然后把上述操作重复N次。想象[H(1),H(2)]在平面内确定一个点,由于有N个样本,我们可以确定N个点,这时候我们可以计算H(1),H(2)的统计学关系(一开始我用的是相关性(Pearson Correlation),后面发现不够灵敏,于是换成了协方差(Covariance)

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对于任选的H(t_a),H(t_b),我们都可以确定一个分布并且抽象成一个单值。将这些单值集合起来之后,我们就的到了刚刚看到的热相图。

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(这里的单值用的都是协方差。)

我的观察是,热相图的凹凸性可以很好地刻画原系统的动力学性质。可以看到这个热相图的对角线有一个凹扩散,这一般对应复杂的动力学(complex,相对于混沌 chaotic,稳定 stable而言)

待续

记录_论可测变换或动力系统与度量函数的耦合_暨微扰论的拓展_1

2017/02/14 L,叁,F

首先F抛出关于H1,H2和Derrida Plot的问题,询问在使用图论时原集合一般会内嵌在哪些度量空间(metric space)。

L:抛出了对图论联通性和拓扑联通性之间的区别。L指出联通图可以自然导出一个最短路径(通过广度优先搜索),从而定义一个有离散拓扑的度量空间,但是图之联通不能导出最短路径对应的离散拓扑之联通。原因在于,由于这个拓扑是离散拓扑,所以这个拓扑对应的图显然不连通(只要图中的元素大于等于两个),而且由于道路/路径联通蕴含连通性,所以图也就不道路联通了。

叁:单单给出一个集合(Set)并不能唯一地确定一个度量空间。额外地,我们需要赋予这个集合某些结构,比如说把它们按某种方法排成一排,计算距离就行了,但单单给出一个集合是不能确定度量空间的。

L:总之,图论中最完全的信息,由边和顶点共同提供,可以人为地给图定义一些度量空间,但是这个度量在使用时要当心(叁:估计刘大师的意思是,图里的metric(比如由连接两点的最少的边的数量决定)并不是一个真正的metric space里的metric)。或者说是在套用metric space的结论时,要小心图论和拓扑空间之间术语的区别。

叁:虽然我没有完全听懂,不过问题应该出在三角不等式 ,而不是连通性上吧?因为就算是真正的度量空间里面的开球也不一定是联通的。

L:嗯其实是个metric,主要是连通性不一致可能会出错。譬如图论中的道路和拓扑空间就有点不一样。

F:让我重新表述一下我的问题:
假设一个有限集合S 有一个测度  \mu(S) ,(L:为严谨,S的 \sigma代数是S的power set, \mu: \sigma(S) \rightarrow [0,1],而且 \mu满足并集相加),那么给定一个转移矩阵(Transition matrix ,也就是带强度的Edge matrix),令为 \pi 。那令 \mu_2=\pi * \mu_1,则 \pi是一个可测变换(这里的乘法定义是矩阵乘法)。根据马尔可夫链基本定理(THE FUNDAMENTAL THEOREM OF MARKOV CHAINS),如果 \pi的性质足够好,那么 \pi重复作用之后测度 \mu的是驻定的,但驻定这个条件还并不是最重要的。
现在有趣的是,S本身有一个内构的度量是汉明距离: H(S_a,S_b),(附:两条长度为n的有x个字符是不同的序列之间的汉明距离 H=\frac{x}{n},当然除以n 不是必要的,只是一步正规化)。现在如果 \pi对应一个有向图(directed graph),也就是说每个元素只能有一个下家,且定义这条边强度为1,那么给出 a_2=\pi(a_1),  b_2=\pi(b_2),现在我们考察 H(a_1,b_1), H(a_2,b_2)之间的关系 (简称  H_1,H_2)。
联系微扰理论(perturbation theory),讨论同一个微分方程 \frac{dx}{dt} = f(x),从x0开始会给出一条轨迹x(t),从x0+e会给出另一条轨迹x’(t),通过考察 \frac{d(|x' - x|)}{dt} =g(|x' -x|)可以得出系统的复杂度/渐进稳定性(这里g可以从f和x0导出)。注意到我们使用了一个度量|x’-x|,在微分动力系统中这个度量常常是L2-norm,也就是欧几里得距离,也就是说,我们考察的是L2度量在微分动力系统下的行为,以理解该动力系统的混沌性。相应的,在前一个例子中,我们考察的是汉明度量在可测变换下的行为,理论上这可以体现出该可测变换的混沌性。但是需要注意的是,经典微扰理论关心的是|x’-x|极小时的行为,离散扰动理论却被迫关心H1和H2之间的统计联系,因为对H1取极小并不是一个极为自然的选择。

重整化,基态, 黑帆

-Don’t deem a paper incorrect just because you don’t understand it.

-讨论了《黑帆》里的一些寓意

-讨论了DMRG(密度矩阵重整化群)作为“以小见大”的一个手法的一些特征。

最近的娱乐活动主要是在看黑帆(Black Sails)这部剧,亚马逊Prime上有免费看所以追的很勤快。对比权利的游戏和西部世界,黑帆的叙事更加古典,加之海盗的叙事线对我比较新颖,所以看得异常入迷。这部剧的好处在于张力极强,在一个极小的格局中浓缩进了高强度的冲突。与权利的游戏随意杀主角形成对比的是,黑帆的人物有明显的层级性,随之赋予了一定的英雄主义情节。但这不妨碍它呈现人性的冲突——是取岛屿的整体大义,还是取报仇的一己之快?是领导船员走一条风险大的道路,还是做一些稳稳当当但是不会亏本的买卖?当船员与船长的目标相脱节,矛盾冲突又将如何调和?短线和长线相互博弈,期望和务实前后矛盾。黑帆给我们展现是一个赤裸裸的罗生门,在这里所有人都自以为掌控着命运,最终又陷入冲突而失去一切反抗的资源。

这些道理被巧妙地隐藏在黑帆的叙事里:第一季Flint船长在追击Andromache时与Billy进行的讨论尤其精要:我们以为猎物是在北边的,所以我们朝着北边前进以期猎杀,但是猎物的选择我们是不知道的,它甚至可能调转航向以其与我们错身而过;它甚至也可能不在北边,到时候我们将面对一片空荡荡的海面。(大意)当然最后这些更差的情况都没有发生,而Andromache确实走了最普通的一个选择。但Flint作为船长,其远见和策划的能力都是远高于当时的Billy的,但这个能力也需要有船员来执行,否则再多的推断也无法保证Flint自己的生存。换句话说,仓禀足而知礼节,但知礼节本身不能解决吃饭问题,随时面临挨饿的危险。但知礼节者之所以不再陷入挨饿的困境,是因为他能够调控饿肚子人的行为来解决自己的吃饭问题,而一旦饿肚子的人顿悟了礼节的重要性,那么两者必然陷入权利的争夺。

(Pictures from “Black Sails”)

道理说起来都是简单的,家家却都有本难念的经。冲突来自于各个琐碎的方面而不遵从任一统一的名字。每个人会基于自己的背景作出自己的判断,却又被迫与他人协调以取得成果。没有任何判断是准确且必然的,人们所能控制的仅仅是尽量减少前后矛盾的判断。然而,每个人对待矛盾的态度又是由其背景决定的。

剧中还用到了一些有意思的叙事手法。在Flint还在海军服役的时候,有一件意外极大地影响了他的前程:Nassau的执政官被当地民众颠覆了,导致Flint和Hamilton赦免Nassau的计划彻底泡汤。然而,当Flint自己执掌海盗的时候,他与执政者的关系也是糟糕得丝毫不容赦免的可能。这个循环的叙事导致Flint既是颠覆的实施者(之后)又是颠覆的受难者(之前)。滴水不漏的叙事硬生生地刻画出了生存的艰难,文明的艰难。赦免的初衷是好的,但却失去了支配的力量。文明的初衷是好的,但代价是拱手让出那些更现实的利益,并承担更大的风险,而这风险只有通过必要的恶才能解除。

学术方面在接触作为一种数值模拟方法的DMRG,糟糕的是几乎所有的文献都是用bra-ket和线性代数写就的,对于只会用偏微分处理热力学模型的我是一个比较大的挑战。DMRG的最大应用在于寻找系统在大尺度上的一个基态,而且其效果和蒙特卡洛有得一拼。这应该是我第一次实战接触统计物理了,希望在解决这个问题后能够把微观->宏观的这套哲学运用到其他的问题上。

简要介绍一下DMRG,多体系统可以用一个波函数(即一个联合概率分布)来描述,概率最大的那个波函数即是系统的基态。但是与其NRG直接寻找子系统的基态不同的是,DMRG寻找 子系统+少量微观元素 的联合系统的一个基态,再将原来的子系统投射到这个基态中占主导的那些子系统波函数组分上。具体的算法还在钻研,希望能够尽快重复出Nishino_1995做出的2D伊辛的结果。

dmrg_nishino1995.png

(摘自Nishino 1995, DMRG method for 2D classical Models)

这个由小见大的过程真的是很有意思。还需要注意的是,在相变临界点附近,DMRG的精度会下降很多,因为这个时候很难找到占“主导”的子系统波函数,也就是说,几乎所有波函数都是可能的。或许可以通过某些数学来解出这种本征值均等的状况何时出现,以期严格解出相变点,但是这要等到彻底理解算法以后了。

一些别的碎碎念:两个蛋白质结合,是否意味着他们降落到一个基态上了呢?那么在结合之前,他们岂不是在亚稳态?如何用DMRG处理生物中明显的层级特征呢?蛋白质相互作用能不能用算符来建模呢?更确切地说,如何建模才能收集不同层次的信息?在缺乏对称性的情况下,如何改良原来的方法呢?

路漫漫其修远兮,但这不成为停下脚步的理由。

2017/02/08
瓶子

PS: 有一个跟生物研究相关的小游戏Phylo,觉得好玩的可以在楼下讨论。