应用_用回归图对符号动力学进行半系统的分类_论可测变换或动力系统与度量函数的耦合暨微扰论的拓展

以相关性(correlation)为度量的回归图忠实地反映了基础元胞自动机(ECA)的动力学性质,可以很好地区分稳态和混沌态。

我对Logistic Mapping做了简单的耦合推广,并应用回归图找到了处在混沌边界的参数,有趣的是这种推广系统也处在混沌边界。

demo_log_torus

logistic__3-811_corrprofile

讨论:二维元胞自动机是一个幻象,它并不比一维元胞高明到哪里去,对于Glider和Pattern的分类看起来没有发展壮大的希望。CA和物理学的联系目前还是太弱了,需要一些契机把CA爱好者引导到更有建设性的道路上。Wolfram对Rule110的阐释是很有insight的,但是他本人最后也认识到CA有一些内在的缺陷使其不能模拟神经网络。我希望Derrida Plot的复兴可以改变这一情况,这一工具允许人们更加系统地对自动机的动力学性质进行分类,而且和微扰论有很深的联系,希望有更多的人参与到这个研究里来。

这里用一个二维BS元胞自动机为例子(B013468/S23,生命游戏是B3/S23),大致介绍一下Covariance Profile的具体操作办法,用一个常值分布随机取两个初始状态,计算它们的距离H(0),接下来用CA规则将两个初态分别迭代T次,并记录它们的轨迹。这样我们可以得到H(1),H(2),H(3)….H(T). 然后把上述操作重复N次。想象[H(1),H(2)]在平面内确定一个点,由于有N个样本,我们可以确定N个点,这时候我们可以计算H(1),H(2)的统计学关系(一开始我用的是相关性(Pearson Correlation),后面发现不够灵敏,于是换成了协方差(Covariance)

expanded6491tca

对于任选的H(t_a),H(t_b),我们都可以确定一个分布并且抽象成一个单值。将这些单值集合起来之后,我们就的到了刚刚看到的热相图。

collected6491tca

(这里的单值用的都是协方差。)

我的观察是,热相图的凹凸性可以很好地刻画原系统的动力学性质。可以看到这个热相图的对角线有一个凹扩散,这一般对应复杂的动力学(complex,相对于混沌 chaotic,稳定 stable而言)

待续